Góp nhặt

Viết tặng Lê Thị Ty, Nguyễn Thị Hồng Phương và các bạn muốn tìm hiểu về bất đẳng thức Cauchy.



Bất đẳng thức Cauchy

$\forall x, y \geq 0$ ta có : $\dfrac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy}$ . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y.$

$\forall x, y, z \geq 0$ ta có : $\dfrac{x+y+z}{3}\geq \sqrt[3]{xyz}$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z.$
*Chú ý, trong thực tế ta thường dùng dưới dạng $x+y\geq 2\sqrt{xy}$ và $x+y+z \geq 3\sqrt[3]{xyz}.$

1. Kỹ thuật đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân.

Sử dụng dạng : $x+y\geq 2\sqrt{xy}$ hoặc $x+y+z \geq 3\sqrt[3]{xyz}.$

Ví dụ 1. Cho $a, b, c$ là độ dài 3 cạnh của tam giác $ABC$. Chứng minh rằng $$(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc.$$

Giải.

Ta có $a+b\geq 2\sqrt{ab}$. Đẳng thức xảy ra khi $a=b.$

$b+c\geq 2\sqrt{bc}$. Đẳng thức xảy ra khi $b=c.$

$c+a\geq 2\sqrt{ca}$. Đẳng thức xảy ra khi $c=a.$

Suy ra $(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc.$ Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$, hay $ABC$ là tam giác đều.

Ví dụ 2. Cho $x>0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x+\dfrac{1}{x}$.

Giải

Với mọi $x>0$ ta có $x+\dfrac{1}{x}\geq 2\sqrt{x\cdot \dfrac{1}{x}}=2$. Đẳng thức xảy ra khi $$x=\dfrac{1}{x}\Leftrightarrow x^2=1 \Leftrightarrow x=1\quad (\text{do}\,\, x>0).$$

Vậy $\displaystyle\underset{x>0}\min y =2.$

Ví dụ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=2x+\dfrac{1}{x^2}$ với $x>0$.

Giải

Ta có $y=x+x+\dfrac{1}{x^2}\geq 3\sqrt[3]{x.x.\dfrac{1}{x^2}}=3$. Đẳng thức xảy ra khi $$x=x=\frac{1}{x^2}\Leftrightarrow x^3=1 \Leftrightarrow x=1.$$

Vậy $\displaystyle\underset{x>0} \min y =3.$

Ví dụ 4. Cho $0 < b < a$. Chứng minh rằng $a+\dfrac{1}{(a-b)b}\geq 3$.

Giải

Ta có $a+\dfrac{1}{(a-b)b}=(a-b)+b+\dfrac{1}{(a-b)b}\geq 3\sqrt[3]{(a-b)b\dfrac{1}{(a-b)b}}=3$. Đẳng thức xảy ra khi $$a-b=b=\dfrac{1}{(a-b)b}\Leftrightarrow \begin{cases}a-b=b\\b=\dfrac{1}{(a-b)b}\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=2b\\b^3=1\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=2\\b=1\end{cases}.$$

Bài tập

1) Với mọi $x, y, z > 0$. Chứng minh rằng $$(x+y)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\geq 4.$$ $$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\geq \dfrac{9}{x+y+z}.$$

2) Chứng minh rằng $\dfrac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}\geq 2$. Đẳng thức xảy ra khi nào?

3) Cho $a, b, c > 0$ và $a+b+c=1$. Chứng minh rằng $$\left(\dfrac{1}{a}-1\right)\left(\dfrac{1}{b}-1\right)\left(\dfrac{1}{c}-1\right)\geq 8.$$

4) Cho $a, b > 0$ và $a+b=1$. Chứng minh rằng $$\left(1+\dfrac{1}{a}\right)\left(1+\dfrac{1}{b}\right)\geq 9.$$

5) Cho $a, b, c > 0$. Chứng minh rằng $$(2a+b+c)(a+2b+c)(a+b+2c)\geq 8(a+b)(b+c)(c+a).$$

6) Cho $a, b, c > 0$ và $a+b+c=1$. Chứng minh rằng $$(1+a)(1+b)(1+c)\geq 8(1-a)(1-b)(1-c).$$