Kỹ thuật cơ bản BĐT Cauchy (tiếp theo_2).
Viết tặng Lê Thị Ty, Nguyễn Thị Hồng Phương và các bạn muốn tìm hiểu về bất đẳng thức Cauchy.
3. Kỹ thuật ghép đối xứng.
Để ý :
$$\begin{array}{l} 2(x+y+z)=(x+y)+(y+z)+(z+x)\\ x+y+z=\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{z+x}{2}\\x^2y^2z^2=(xy)(yz)(zx)\\xyz=\sqrt{xy}\sqrt{yz}\sqrt{zx}\quad\forall x, y, z \geq 0\end{array}$$
Ví dụ 1. Trong tam giác $ABC$ chứng minh rằng $(p-a)(p-b)(p-c)\leq \dfrac{1}{8}abc.$
Giải
Ta có $\sqrt{(p-a)(p-b)}\leq \dfrac{p-a+p-b}{2}=\dfrac{c}{2}$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $p-a=p-b \Leftrightarrow a=b.$
Tương tự, $\sqrt{(p-b)(p-c)}\leq \dfrac{a}{2}$. Đẳng thức xảy ra khi $b=c.$
và $\sqrt{(p-c)(p-a)}\leq \dfrac{b}{2}$. Đẳng thức xảy ra khi $c=a.$
Suy ra $(p-a)(p-b)(p-c)\leq \dfrac{1}{8}abc.$ Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$, tức $ABC$ là tam giác đều.
Giải
Ta có $\sqrt{(p-a)(p-b)}\leq \dfrac{p-a+p-b}{2}=\dfrac{c}{2}$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $p-a=p-b \Leftrightarrow a=b.$
Tương tự, $\sqrt{(p-b)(p-c)}\leq \dfrac{a}{2}$. Đẳng thức xảy ra khi $b=c.$
và $\sqrt{(p-c)(p-a)}\leq \dfrac{b}{2}$. Đẳng thức xảy ra khi $c=a.$
Suy ra $(p-a)(p-b)(p-c)\leq \dfrac{1}{8}abc.$ Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$, tức $ABC$ là tam giác đều.
Tags: Cauchy, cauchy's inequality
Đăng ký:
Đăng Nhận xét (Atom)
Share your views...
0 Respones to "Kỹ thuật cơ bản BĐT Cauchy (tiếp theo_2)."
Đăng nhận xét
Khi đăng nhận xét, bạn vui lòng viết Tiếng Việt có dấu và nhận xét đó phải liên quan đến bài viết. Rất vui vì bạn đã đọc bài và cho ý kiến.