Góp nhặt

Viết tặng Lê Thị Ty, Nguyễn Thị Hồng Phương và các bạn muốn tìm hiểu về bất đẳng thức Cauchy.

2. Kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng.

Sử dụng dạng $\sqrt{xy}\leq \dfrac{x+y}{2}$ và $\sqrt[3]{xyz}\leq \dfrac{x+y+z}{3}$. Trong đó $x, y, z$ là các số không âm, và đẳng thức xảy ra khi $x=y=z$.

Ví dụ 1. Cho $x, y, z \geq 0$. Chứng minh rằng $\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\leq x+y+z.$

Giải.

Ta có $\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\leq \dfrac{x+y}{2}+\dfrac{y+z}{2}+\dfrac{z+x}{2}=x+y+z.$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z.$

Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=3x^2 -2x^3$ với $0\leq x \leq \frac{3}{2}.$

Giải.

Ta có $y=x.x(3-2x)\leq \left(\dfrac{x+x+3-2x}{3}\right)^3=1.$ Đẳng thức xảy ra khi $$x=x=3-2x \Leftrightarrow x=1.$$

Vậy $\displaystyle\underset{0\leq x \leq \frac{3}{2}}\max y =1$ khi $x=1.$

$\bullet$ Chú ý $\sqrt[3]{xyz} \leq \dfrac{x+y+z}{3} \Leftrightarrow xyz \leq \left(\dfrac{x+y+z}{3}\right)^3.$

BÀI TẬP

1. Cho $0\leq c \leq a, 0\leq c \leq b$. Chứng minh rằng $$\sqrt{c(a-c)}+ \sqrt{c(b-c)} \leq \dfrac{a+b}{2}.$$

2. Cho $0\leq c < a, 0\leq c < b$. Chứng minh rằng $$\sqrt{c(a-c)}+ \sqrt{c(b-c)} \leq \sqrt{ab}.$$

3. Cho $a, b, c$ là 3 số thực dương. Chứng minh rằng:

$$\dfrac{\sqrt{bc}}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\dfrac{\sqrt{ca}}{\sqrt{(b+c)(b+a)}}+\dfrac{\sqrt{ab}}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}\leq \dfrac{3}{2}.$$

$$\dfrac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\dfrac{b}{\sqrt{(b+c)(b+a)}}+\dfrac{c}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}\leq \dfrac{3}{2}.$$