Góp nhặt

Phát biểu: Cho 2 bộ số thực $a_1, a_2,...,a_n$ và $b_1, b_2, ..., b_n$, khi đó

$$\left( a_1.b_1+a_2.b_2 + ... + a_n.b_n\right)^{2}\leq \left(a_1 + a_2 + ... + a_n \right)^{2}. \left( b_1 + b_2 + ... + b_n \right)^{2}$$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $ \dfrac{a_1}{b_1} = \dfrac{a_2}{b_2} =...= \dfrac{a_n}{b_n}$

Trong chương trình phổ thông chúng ta thường gặp bất đẳng thức này với $ n=3$ hoặc $n=2$, cụ thể là

$$\left( a_1.b_1+a_2.b_2 + a_3.b_3\right)^{2}\leq \left(a_1 + a_2 + a_3 \right)^{2}. \left( b_1 + b_2 + b_3 \right)^{2}$$,

đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $ \dfrac{a_1}{b_1} = \dfrac{a_2}{b_2} = \dfrac{a_3}{b_3}$

hoặc

$$!\left( a_1.b_1+a_2.b_2 \right)^{2}\leq \left(a_1 + a_2 \right)^{2}. \left( b_1 + b_2\right)^{2}$$,

đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $ \dfrac{a_1}{b_1} = \dfrac{a_2}{b_2}$

Ví dụ 1. 

Cho 3 số thực $a,b,c$, chứng minh rằng $ab+bc+ca \leq (a+b+c)^{2}$.

Lời giảiÁp dụng bất đẳng thức Bunhiakovsky với $n=3$ ta có

$$\begin{array}{l c l}

& (ab+bc+ca)^{2} & \leq (a+b+c)^{2}.(b+c+a)^{2}\\

\Leftrightarrow & (ab+bc+ca)^{2} & \leq (a+b+c)^{4}\\

\Leftrightarrow & |ab+bc+ca| & \leq (a+b+c)^{2}\\

\Rightarrow & ab+bc+ca & \leq |ab+bc+ca| \leq (a+b+c)^{2}

\end{array}$$

Đẳng thức xảy ra khi $\dfrac{a}{b}= \dfrac{b}{c}= \dfrac{c}{a} \Leftrightarrow a=b=c$